Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x²+3x（x∈R）的图象为曲线C，问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两点？若存在，求出符合条件的所在直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 设存在过点A（x₁，y₁）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x₂，y₂），x₁≠x₂，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况即可判断符合条件的所有直线方程．

解答 解：设存在过点A（x₁，y₁）的切线曲线C同时切于两点，
另一切点为B（x₂，y₂），x₁≠x₂，
则切线方程是：y-（$\frac{1}{3}$x₁³+2x₁²+3x₁）=（x₁²+4x₁+3）（x-x₁），
化简得：y=（x₁²+4x₁+3）x+（-$\frac{2}{3}$x₁³-2x₁²），
而过B（x₂，y₂）的切线方程是y=（x₂²+4x₂+3）x+（-$\frac{2}{3}$x₂³-2x₂²），
由于两切线是同一直线，
则有：x₁²+4x₁+3=x₂²+4x₂+3，得x₁+x₂=-4，
又由-$\frac{2}{3}$x₁³-2x₁²=-$\frac{2}{3}$x₂³-2x₂²，
即-$\frac{2}{3}$（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）=2（x₁-x₂）（x₁+x₂）
化简可得x₁x₂=4，
解得x₂=-2，x₁=-2，这与x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及互相垂直的直线的斜率关系，同时考查了运算能力，属于中档题．