Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d，当x=-3和x=1时，f（x）取得极值．
（1）求b，c的值；
（2）若函数f（x）的极大值大于20，极小值小于5，试求d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数在两个极值点处的值为0，列出方程组，求出b，c的值．
（2）将（I）中求出的 b，c的值代入f（x），列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出极大值与极小值，利用已知条件列出不等式组，求出d范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c
∵当x=-3和x=1时，f（x）取得极值，
∴f′（-3）=0，f′（1）=0，
∴

27-6b+c=0 3+2b+c=0

，
解得，b=3，c=-9．
（2）由（Ⅰ）知：f（x）=x³+3x²-9x+d，f′（x）=3x²+6x-9，
令f′（x）＞0，得3x²+6x-9＞0，解得x＜-3或x＞1，
∴f（x）的增减区间、极值、端点值情况如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值27+d	递减	极小值d-5	递增

∵函数f（x）的极大值大于20，极小值小于5．
∴

27+d＞20 d-5＜5

，解得-7＜d＜10，
∴d的取值范围是（-7，10）．

点评：求函数的极值，一般求出函数的导数，求出导函数大于0的x范围及导函数小于0的x的范围，列出x，f′（x），f（x0的情况变化表从而得到函数的极值；注意函数在极值点处的导数值为0．