Question

7．已知椭圆C：x²+4y²=16，点M（2，1）．
（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；
（2）求通过M点且被这点平分的弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）将椭圆转化成标准方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知椭圆的焦点在x轴上，a=4，b=2，则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，焦点坐标为（2$\sqrt{3}$，0），（-2$\sqrt{3}$，0），离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，作差$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$=0，由中点坐标公式及斜率公式可知：k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，利用直线的点斜式方程，即可求得直线AB的方程．

解答 解：（1）由椭圆C：x²+4y²=16，则$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知椭圆的焦点在x轴上，
a=4，b=2，则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴椭圆的焦点坐标为（2$\sqrt{3}$，0），（-2$\sqrt{3}$，0），
 离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）设过M点的直线与椭圆交于点A，B两点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
两式相减得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$=0
由中点坐标公式，得$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2，$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=1，
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
则所求直线方程为y-1=$\frac{1}{2}$（x-2），
∴x+2y-4=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查中点坐标公式，直线的斜率公式及点差法应用，考查计算能力，属于中档题．