Question

19．已知函数f（x）=|2x-1|+|x-a|．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥2；
（2）若f（x）=|x-1+a|，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可解不等式f（x）≥2；
（2）因为|2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|．由绝对值不等式成立条件可知：当且仅当（2x-1）（x-a）≤0时成立，即可求x的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|2x-1|+|x-1|．                   …（1分）
当x≥1时，3x-2≥2，∴x≥$\frac{4}{3}$                                           …（2分）
当$\frac{1}{2}$≤x＜1时，无解                                               …（3分）
当x＜$\frac{1}{2}$时，x≤0                                                  …（4分）
综上：不等式的解集为{x|x≤0或x≥$\frac{4}{3}$}；                                           …（5分）
（2）因为|2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|．                …（6分）
由绝对值不等式成立条件可知：
当且仅当（2x-1）（x-a）≤0时成立                                    …（7分）
当a＞$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}≤x≤a$                                            …（8分）
当a=$\frac{1}{2}$时，x=$\frac{1}{2}$                                               …（9分）
当a＜$\frac{1}{2}$时，a≤x≤$\frac{1}{2}$．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．