Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，其中点P（1，2）为函数图象的一个最高点，Q（4，0）为函数图象与x轴的一个交点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象，求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得振幅A，周期T，利用周期公式可求ω，将点P（1，2）代入解析式，结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解函数解析式．
（Ⅱ）利用三角函数的图象变换可得g（x）=2sin$\frac{π}{6}$x，利用三角函数恒等变换可求h（x）=1+2sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$），由$\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}=kπ$，即可得解对称中心．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由题意得振幅A=2，周期T=4×（4-1）=12，
又$\frac{2π}{ω}$=12，则ω=$\frac{π}{6}$…（2分）
将点P（1，2）代入f（x）=2sin（$\frac{π}{6}$x+φ），得sin（$\frac{π}{6}$x+φ）=1，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，…（4分）
故f（x）=2sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{3}$）…（5分）
（Ⅱ）由题意可得g（x）=2sin[$\frac{π}{6}$（x-2）+$\frac{π}{3}$]=2sin$\frac{π}{6}$x…（7分）
∴h（x）=f（x）•g（x）=4sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{3}$）•sin$\frac{π}{6}$x=2sin²$\frac{π}{6}$x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{6}$x•cos$\frac{π}{6}$x=1-cos$\frac{π}{3}$x+$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$x
=1+2sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）…（10分）
由$\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}=kπ$，得：$x=3k+\frac{1}{2}（k∈Z）$．
∴y=h（x）图象的对称中心为：$（3k+\frac{1}{2}，1）（k∈Z）$…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于中档题．