Question

8．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，若$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=-2．

Answer 1

分析 根据数量积的定义计算出$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$的值，再根据$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$用$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{BD}$，求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$即可．

解答 解：平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=1×2×cos60°=1，
又$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$，∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=1²-$\frac{1}{3}$×1-$\frac{2}{3}$×2²=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查了两个向量的数量积的定义以及公式的应用问题，是基础题目．