Question

6．函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π，
（1）求m和ω的值，
（2）求函数的单调增区间，
（3）问：试否存在实数n，使得函数f（x）的图象与直线$\sqrt{6}$x+y+n=0相切，若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π，可得周期为2π，再利用周期公式可得m和ω的值，
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（3）利用导函数求出f（x）的切线方程，可得斜率范围，图象与直线$\sqrt{6}$x+y+n=0相切，看该直线的斜率是否在范围之内，可得结论．

解答 解：函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）
（1）∵图象与直线y=m相切，直线y=m必过顶点，
故得m=±1；
∵相邻切点之间的距离为π，可知周期为π，即$\frac{2}{2ω}$=π，
解得：ω=1．
可得函数f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
（2）由（1）可得函数f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
根据正弦函数的图象及性质可得：2x$-\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]（k∈Z）上是单调递增，
即$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
故得函数f（x）的单调增区间为[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，（k∈Z）．
（3）不存在实数n这样的数；
∵函数f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
f′（x）=2cos（2x$-\frac{π}{6}$）
∴曲线f（x）的斜率范围是[-2，2]．
如果图象与直线$\sqrt{6}$x+y+n=0相切，必然斜率在其范围之内，
而直线$\sqrt{6}$x+y+n=0的斜率k=$-\sqrt{6}$∉[-2，2]．
∴直线$\sqrt{6}$x+y+n=0与图象不相切．
故而不存在实数n．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了导函数的几何意义，切线问题，属于中档题．