Question

16．等差数列{a_n}满足a₅=14，a₇=20，数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 证明数列{b_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用数列递推关系、等比数列的定义即可得出．

解答 （Ⅰ） 解：数列{a_n}为等差数列，公差$d=\frac{1}{2}（{a_7}-{a_5}）=3$，a₁=2，∴a_n=3n-1．
（Ⅱ）证明：由b_n=2-2S_n，当n≥2时，有b_n-1=2-2S_n-1，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．即$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$．
所以{b_n}是等比数列．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．