Question

6．已知函数f（x）=2x²+mx-1，m为实数．
（1）已知对任意的实数f（x），都有f（x）=f（2-x）成立，设集合A={y|y=f（x），x∈[-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$]}，求集合A．
（2）记所有负数的集合为R^-，且R^-∩{y|y=f（x）+2}=∅，求所有符合条件的m的集合；
（3）设g（x）=|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴，然后求解函数的最值即可．
（2）利用函数恒成立，通过判别式求解即可．
（3）化简函数的表达式，通过a与x讨论求解即可．

解答 解：（1）对于x∈R都有f（x）-f（2-x）=0，所以f（x）图象关于直线x=1对称，所以$-\frac{m}{4}=1$，
∴m=-4，所以f（x）=2（x-1）²-3为减函数，
$f{（x）_{max}}=-2\sqrt{2}，f{（x）_{max}}=2\sqrt{2}$，
∴$A=[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$；
（2）由题意y=f（x）+2≥0在R上恒成立，即2x²+mx+1≥0在R上恒成立，
∴△=m²-8≤0，∴$\left\{{m|-2\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}}\right\}$；
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），∴φ（x）=x²+|x-a|-1；
①当x≤a时，$φ（x）={x^2}-x+a-1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+a-\frac{5}{4}$，当$a≤\frac{1}{2}$，则函数φ（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值为φ（a）=a²-1，若$a＞\frac{1}{2}$，函数φ（x）在（-∞，a]上的最小值$φ（{\frac{1}{2}}）=a-\frac{5}{4}$，且$φ（{\frac{1}{2}}）=a-\frac{5}{4}$，且$φ（{\frac{1}{2}}）≤φ（a）$；
②当x＞a时，函数$φ（x）={x^2}+x-a-1={（{x+\frac{1}{2}}）^2}-a-\frac{5}{4}$，$a≥-\frac{1}{2}$时，函数φ（x）在（a，+∞）上单调增，∴φ（x）_min=φ（a）=a-1，
当$a＜-\frac{1}{2}$时，φ（x）在$（{a，-\frac{1}{2}}）$上单调减，在$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$上单调增，
∴$φ{（x）_{min}}=φ（{-\frac{1}{2}}）=-a-\frac{5}{4}$．

点评 本题考查函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．