Question

14．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，e），其中e是椭圆C₁的离心率，以原点O为圆心，以椭圆C₁的长轴长为直径的圆C₂与直线x-y+2=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁和圆C₂的方程；
（Ⅱ）过椭圆C₁的右焦点F的直线l₁与椭圆C₁交于点A，B，过F且与直线l₁垂直的直线l₂与圆C₂交于点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆经过点（1，e），以原点O为圆心，以椭圆C₁的长轴长为直径的圆C₂与直线x-y+2=0相切，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C₁的方程和圆C₂的方程．
（Ⅱ）若直线AB的斜率不存在，由l₁⊥l₂，得S=2；若直线AB的斜率为0，由l₁⊥l₂，得|AB|=2$\sqrt{2}$，|CD|=2，S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2$；若直线AB的斜率存在且不为0，设l₁的方程为y=k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理、根的差别式、弦长公式、函数的单调性，结合已知条件能求出S的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，e），
以原点O为圆心，以椭圆C₁的长轴长为直径的圆C₂与直线x-y+2=0相切，
∴由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}=1}\\{\frac{2}{\sqrt{2}}=a}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
所以椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，圆C₂的方程为x²+y²=2．
（Ⅱ）若直线AB的斜率不存在，由l₁⊥l₂，得|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，|CD|=2$\sqrt{2}$，
此时S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2$．
若直线AB的斜率为0，由l₁⊥l₂，得|AB|=2$\sqrt{2}$，|CD|=2$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=2，
此时S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2$．
若直线AB的斜率存在且不为0，设l₁的方程为y=k（x-1）．
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，
消y，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
所以${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-2）=8k²+8＞0．
|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{8{k}^{2}+8}}{1+2{k}^{2}}$．
又l₂的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1），即x+ky-1=0，
得|CD|=2$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{2{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}}$．
所以S=$\frac{1}{2}$|AB|×|CD|=$\frac{1}{2}×\sqrt{1+{k}^{2}}×\frac{\sqrt{8{k}^{2}+8}}{1+2{k}^{2}}×2\sqrt{\frac{2{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{1+\frac{1}{1+2{k}^{2}}}$．
因为k²＞0，关于k²是单调递减函数，
$S=2\sqrt{1+\frac{1}{1+2{k}^{2}}}$∈（2，2$\sqrt{2}$）．
综上得，S的取值范围是[2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查椭圆方程、圆的方程的求法，考查四边形面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的差别式、弦长公式、函数的单调性、椭圆性质的合理运用．