Question

【题目】已知函数f（x）=（a﹣ ）x2+lnx（a为实数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；
（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，函数f（x）=﹣ ，（x＞0）

f′（x）=﹣x+ = ，（x＞0），令f′（x）=0，得x=1，（负值舍去）

∴x＞0，x、f′（x），f（x）的变化如下：

x	（ ，1）	1	（1，e）
f′（x）	+	0
f（x）	↑	极大值	↓

∴f（x）在（ ，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，

f（x）最大值为f（1）= ．

∵ ，∴f（x）最小值为f（e）=1﹣

（2）解：g（x）=f（x）﹣2ax=（a﹣ ）x2+lnx﹣2ax，g（x）的定义域为（0，+∞），

①若a ，令g′（x）=0，得极值x1=1，x2= ，

当x1＜x2，即 时，在（0，1）上有g′（x）＞0，

在（1，x2）上有g′（x）＜0，

在（x2，+∞）上有g′（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，

并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞）不合题意；

当x2≤x1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，

有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；

②若a≤ ，则有x1＞x2，此时在区间（1，+∞）上恒有g′（x）＜0，

从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；

要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g（1）=﹣a﹣ ≤0，得a≥﹣

由此求得a的范围是[﹣ ， ]

综合①②可知实数a的取值范围是[﹣ ， ]

【解析】（1）求出导数，由此能求出f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞））上单调递减．f（x）在（ ，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，由此能求出f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值．（2）求出函数g（x）的导数，讨论①若a ，②若a≤ ，求得单调区间，可得g（x）的范围，由恒成立思想，进而得到a的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．