Question

如图，在三棱锥P-ABC种，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB
（2）设点E为棱PA的中点，证明∠CEB为二面角B-AP-C的平面角，并求其正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用SSS可证得△APC≌△BPC，则由PC⊥AC，可得PC⊥BC，再由线面垂直的判定定理得到PC⊥平面ABC，最后由线面垂直的性质（定义）得到PC⊥AB
（2）结合（1）中结论及∠ACB=90°，由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，进而BC⊥AP，连结BE，CE，根据等腰三角形“三线合一”得到BE⊥AP，证得PA⊥平面BEC，进而EC⊥AP．可得∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，解Rt△BCE可得答案．

解答：证明：（1）∵AC=BC，AP=BP，PC=PC
∴△APC≌△BPC，
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC
又∵AC∩BC=C，AC，BC?平面ABC，
∴PC⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴PC⊥AB．---（4分）
（也可连接点P与AB中点D，通过证明AB⊥平面PCD而得到）
（2）由PC⊥BC，BC⊥AC，PC∩AC=C，PC，AC?平面PAC
可得BC⊥平面PAC．
又∵AP?平面PAC
∴BC⊥AP，
连结BE，CE，
∵BP=AB，点E为棱PA的中点，
∴BE⊥AP．
又∵BC∩BE=B，BC，BE?平面BEC
∴PA⊥平面BEC，
∵EC?平面BEC，
∴EC⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．---（3分）
在Rt△BCE中，BC=2，BE=

3

2

AB=

6

∴sin∠BEC=

BC

BE

=

6

3

--（3分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定及性质，熟练掌握空间线面垂直与线线垂直之间的转化及理解二面角的平面角的概念是解答的关键．