Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=$\frac{π}{4}$，sinA+sin（B-C）=2$\sqrt{2}$sin2C且△ABC的面积为1，则
BC边的长为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由sinA+sin（B-C）=2$\sqrt{2}$sin2C，利用和差公式、倍角公式展开可得sinB=2$\sqrt{2}$sinC，利用正弦定理可得b=2$\sqrt{2}$c．再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵sinA+sin（B-C）=2$\sqrt{2}$sin2C，
∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC-cosBsinC=2$\sqrt{2}$sin2C，
∴2sinBcosC=4$\sqrt{2}$sinCcosC
∵cosC≠0，
∴sinB=2$\sqrt{2}$sinC，
∴b=2$\sqrt{2}$c．
∵A=$\frac{π}{4}$，
∴由余弦定理可得：a²=（2$\sqrt{2}$c）²+c²-2×2$\sqrt{2}$c²cos$\frac{π}{4}$=5c²．
∵△ABC的面积为1，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=1，
∴$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×sin$\frac{π}{4}$=1，解得c²=1．
则a=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．