Question

6．某市为评选“全国卫生城市”，从200名志愿者中随机抽取40名志愿者参加街道卫生监督活动，经过统计这些志愿者的年龄介于25岁和55岁之间，为方便安排任务，将所有志愿者按年龄从小到大分成六组，依次为[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第四组[40，45）的人数为4人．
（1）求第五组的频率并估计200名志愿者中年龄在40岁以上（含40岁）的人数；
（2）若从年龄位于第四组和第六组的志愿者中随机抽取两名，记他们的年龄分别为x，y，事件E={|x-y|≤5}，求P（E）．

Answer 1

分析 （1）先求出第四组的频率，从而能求出第五组的频率，由直方图求出后三组频率，由此能求出200名志愿者中年龄在40岁以上（含40岁）的人数．
（2）第四组[40，45）的人数为4人，设为a，b，c，d；第六组[50，55]的人数为2人，设为A，B．利用列举法能求出事件E包含的基本事件个数．

解答 解：（1）第四组的频率为$\frac{4}{40}=0.1$，
所以第五组的频率为1-0.1-5×（0.02+0.04+0.065+0.01）=0.225，
由直方图得后三组频率为0.1+0.225+0.01×5=0.375．
所以200名志愿者中年龄在40岁以上（含40岁）的人数约为0.375×200=75人．
（2）第四组[40，45）的人数为4人，
设为a，b，c，d；
第六组[50，55]的人数为2人，设为A，B．
则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况，
因事件E={|x-y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名志愿者在同一组，
所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共 7 种情况，
故$P（E）=\frac{7}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查数据处理能力、运算求解能力，属于基础题．