Question

16．已知直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，D为坐标原点，且OA⊥OB，OD⊥AB于点D，点D的坐标为（1，2），则p=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 求得OD的斜率，即可求得直线AB的方程，设出A，B的坐标，由OA⊥OB得到A，B横纵坐标的关系，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的方程后利用根与系数的关系求解．

解答 解：∵点D的坐标为（1，2），则k_OD=2，
又OD⊥AB，且AB过D（1，2），
则直线AB的方程：y-2=-$\frac{1}{2}$（x-1），整理得：2y+x-5=0；
设点A的坐标（x₁，y₁），点B的坐标（x₂，y₂），
由OA⊥OB，则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
则AB的直线方程为x=5-2y，
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+5=0，①
则$\left\{\begin{array}{l}{x=5-2y}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去x得：y²-4py-10p=0，
y₁+y₂=4p，y₁y₂=-10p，②
把②代入解得p=$\frac{5}{2}$，
∴p的值$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．