Question

5．已知函数f （ x）=ax³+bx²+cx+d 的图象如图所示，则$\frac{b+1}{a+1}$的取值范围是（　　） 

• A． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$ ）
• B． （-$\frac{2}{5}$，1）
• C． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （-$\frac{3}{2}$，1）

Answer 1

分析 利用函数以及导数的图象，推出a，b 的不等式组，然后求解即可．由图象可知：经过原点，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax³+bx²+cx．．由图象可得：函数f（x）在[-1，1]上单调递减，函数f（x）在x=-1处取得极大值．可得f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．利用且f′（1）＜0，f′（2）＞0即可得到b＜0，3a+2b＞0，设k=$\frac{b+1}{a+1}$，求k的最值，进而得出结论．

解答 解：由图象可知：经过原点，∴f（0）=0=d，
∴f（x）=ax³+bx²+cx．
由图象可得：函数f（x）在[-1，1]上单调递减，函数f（x）在x=-1处取得极大值．
∴f′（x）=3ax²+2bx+c≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．
得到3a-2b+c=0，即c=2b-3a，
∵f′（1）=3a+2b+c＜0，
∴4b＜0，即b＜0，
∵f′（2）=12a+4b+c＞0，
∴3a+2b＞0，
设k=$\frac{b+1}{a+1}$，
建立如图所示的坐标系，则点A（-1，-1），
则k=$\frac{b+1}{a+1}$式中变量a、b满足下列条件$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b＞0}\\{b＜0}\end{array}\right.$，
作出可行域如图：
∴k的最大值就是k_AO=1，k的最小值就是k_CD，
而k_CD就是直线3a+2b=0的斜率，k_CD=-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜k＜1．
故选：D．

点评 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值、数形结合等基础知识与基本方法．