Question

14．孝感某地施行禁鞭政策，现有A．B两监控点相距1000米，A处听到炮竹声与B处相差2秒，设声速为300米/秒，现要找出炮竹燃放点的大概位置，以A，B所在的直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，燃放点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{30{0}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{40{0}^{2}}=1$．

Answer 1

分析 由题意设燃放点的轨迹上的点M（x，y），由题意可得||MA|-|MB||=300×3=600＜1000，然后利用双曲线的定义及方程得答案．

解答 解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，
则A（-500，0）、B（500，0），
设M（x，y）为曲线上任一点，
则||MA|-|MB||=300×2=600＜1000．
∴a=300，c=500．
∴b²=c²-a²=（c+a）（c-a）=400²．
∴燃放点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{30{0}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{40{0}^{2}}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{30{0}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{40{0}^{2}}=1$．

点评 本题考查了双曲线的定义及其标准方程，关键是对题意的理解，是中档题．