Question

15．已知函数$f（x）=\frac{1}{x+1}$，点O为坐标原点，点${A_n}（{n，f（n）}）（{n∈{N^*}}）$，向量$\vec i=（{0，1}）$，θ_n是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$与$\vec i$的夹角，则$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+…+\frac{{cos{θ_{2017}}}}{{sin{θ_{2017}}}}$的值为$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 求得$\overrightarrow{O{A}_{n}}$=（n，$\frac{1}{n+1}$），运用向量的夹角公式可得cosθ_n，再求sinθ_n，可得$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{x+1}$，
可得A_n（n，$\frac{1}{n+1}$），$\overrightarrow{O{A}_{n}}$=（n，$\frac{1}{n+1}$），
cosθ_n=$\frac{\overrightarrow{O{A}_{n}}•\overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{O{A}_{n}}|•|\overrightarrow{i}|}$=$\frac{\frac{1}{n+1}}{\sqrt{{n}^{2}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，
sinθ_n=$\sqrt{1-co{s}^{2}{θ}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，
可得$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+…+\frac{{cos{θ_{2017}}}}{{sin{θ_{2017}}}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$
=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故答案为：$\frac{2017}{2018}$．

点评 本题考查向量的夹角公式，同角的平方关系，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．