Question

7．椭圆my²+x²=1的一个顶点在抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}$的准线上，则椭圆的离心率（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{63}}}{8}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 4
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，由抛物线的方程可得其准线方程，由椭圆的方程可得其顶点坐标，分析可得$\sqrt{\frac{1}{m}}$=$\frac{1}{2}$，解可得m=4，即可得椭圆的标准方程，由离心率公式计算可得答案．

解答 解：抛物线的方程为$y=\frac{1}{2}{x^2}$，则其标准方程为x²=2y，
其准线方程为y=-$\frac{1}{2}$；
椭圆my²+x²=1的标准方程为：x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{m}}$=1，其顶点坐标为（±1，0）、（0，±$\sqrt{\frac{1}{m}}$），
若椭圆的一个顶点在抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}$的准线上，
则有$\sqrt{\frac{1}{m}}$=$\frac{1}{2}$，解可得m=4，
即椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1，c=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故选：B．

点评 本题考查椭圆的几何性质，关键是掌握椭圆方程的形式．