Question

11．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=2，AA₁=6．若E，F分别是棱BB₁，CC₁上的点，且BE=B₁E，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁，则异面直线A₁E与AF所成角的余弦值为（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{65}}{13}$
• B． $\frac{\sqrt{65}}{13}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{10}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量所成角的余弦值求得异面直线A₁E与AF所成角的余弦值．

解答 解：如图，取AB中点O，以O为原点，分别以OC，OA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，
∵AB=2，AA₁=6，BE=B₁E，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁，
∴A（0，1，0），F（$\sqrt{3}$，0，4），A₁（0，1，6），E（0，-1，3），
∴$\overrightarrow{AF}=（\sqrt{3}，-1，4）$，$\overrightarrow{{A}_{1}E}=（0，-2，-3）$，
∴cos＜$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{{A}_{1}E}$＞=$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{{A}_{1}E}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{{A}_{1}E}|}$=$\frac{2-12}{\sqrt{20}×\sqrt{13}}=-\frac{\sqrt{65}}{13}$．
∴异面直线A₁E与AF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{65}}{13}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．