Question

已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如下图所示．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求二面角的余弦值．
 

Answer 1

（1）详见解析；（2）；(3)．

试题分析：(1)利用底面矩形的对角线互相平分产生一个AC的中点,从而构造出了△ANC的中位线，利用线线平行得到了线面平行；(2)此题利用传统平移的做法求异面直线的夹角略显繁琐，故可利用条件中PA⊥平面ABCD产生空间直角坐标系，利用空间向量求线线角；(3)同(2)，传统做出二面角的平面角的方法比较繁琐，利用已经建好的坐标系求出法向量，进而可以得到二面角的余弦值．
（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，
∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等份点，∴CM=CN，
∴OM//AN， ∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD  4分．
（2）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，

则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),
,  ,  
异面直线AN与PD所成角的余弦值为         8分
（3）∵侧棱PA垂直底面ABCD,∴平面BCD的一个法向量为=(0,0,3),           
设平面MBD的法向量为m=(x,y,z),，并且,
，令y-1得x=2，z=-2,
∴平面MBD的一个法向量为m=(2,1,-2),,   12分
由图可知二面角M-BD-C的大小是锐角,
∴二面角M-BD-C大小的余弦值为      12分．