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如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90,BC=1,AC=CC1=2.
(1)证明:AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1-AB-C的大小.
(1)证明详见解析;(2)arctan.

试题分析:(1)利用AC1⊥平面ABC,可得平面AA1C1C⊥平面ABC,在利用平面与平面垂直的性质和已知条件可得BC⊥平面AA1C1C,而AC1⊥A1C,所以AC1⊥A1B.
(2)作A1E⊥C1C,E为垂足,则A1E⊥平面BCC1B1,而直线A A1∥平面BCC1B1,A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离,则A1D=A1E=,然后证明∠A1FD为二面角A1-AB­-C的平面角,求出tan∠A1FD=即可.
试题解析:
解法一:(1)∵A1D⊥平面ABC, A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,因为侧面AA1C1C是棱形,所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.

(2) BC⊥平面AA1C1C,BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,
作A1E⊥C1C,E为垂足,则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1,因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离,A1E=,因为A1C为∠ACC1的平分线,故A1D=A1E=,
作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB,故∠A1FD为二面角A1-AB­-C的平面角,由AD=,得D为AC的中点,DF=,tan∠A1FD=,所以二面角A1-AB­-C的大小为arctan.
解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内.
(1)设A1(a,0,c),由题设有a≤2,A(2,0,0)B(0,1,0),则(-2,1,0),

,由,即,于是①,所以.
(2)设平面BCC1B1的法向量,则,即,因,故y=0,且(a-2)x-cz=0,令x=c,则z=2-a,,点A到平面BCC1B1的距离为,又依题设,点A到平面BCC1B1的距离为,所以c= .代入①得a=3(舍去)或a=1.于是
设平面ABA1的法向量,则,即.且-2p+q=0,令p=,则q=2,r=1,,又为平面ABC的法向量,故cos,所以二面角A1-AB­-C的大小为arccos
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