试题分析:(1)利用AC
1⊥平面ABC,可得平面AA
1C
1C⊥平面ABC,在利用平面与平面垂直的性质和已知条件可得BC⊥平面AA
1C
1C,而AC
1⊥A
1C,所以AC
1⊥A
1B.
(2)作A
1E⊥C
1C,E为垂足,则A
1E⊥平面BCC
1B
1,而直线A A
1∥平面BCC
1B
1,A
1E为直线A A
1与平面BCC
1B
1间的距离,则A
1D=A
1E=
,然后证明∠A
1FD为二面角A
1-AB-C的平面角,求出tan∠A
1FD=
即可.
试题解析:
解法一:(1)∵A
1D⊥平面ABC, A
1D
平面AA
1C
1C,故平面AA
1C
1C⊥平面ABC,又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA
1C
1C,连结A
1C,因为侧面AA
1C
1C是棱形,所以AC
1⊥A
1C,由三垂线定理的AC
1⊥A
1B.
(2) BC⊥平面AA
1C
1C,BC
平面BCC
1B
1,故平面AA
1C
1C⊥平面BCC
1B
1,
作A
1E⊥C
1C,E为垂足,则A
1E⊥平面BCC
1B
1,又直线A A
1∥平面BCC
1B
1,因而A
1E为直线A A
1与平面BCC
1B
1间的距离,A
1E=
,因为A
1C为∠ACC
1的平分线,故A
1D=A
1E=
,
作DF⊥AB,F为垂足,连结A
1F,由三垂线定理得A
1F⊥AB,故∠A
1FD为二面角A
1-AB-C的平面角,由AD=
,得D为AC的中点,DF=
,tan∠A
1FD=
,所以二面角A
1-AB-C的大小为arctan
.
解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,由题设知A
1D与z轴平行,z轴在平面AA
1C
1C内.
(1)设A
1(a,0,c),由题设有a≤2,A(2,0,0)B(0,1,0),则
(-2,1,0),
,
,由
得
,即
,于是
①,所以
.
(2)设平面BCC
1B
1的法向量
,则
,
,即
,因
,故y=0,且(a-2)x-cz=0,令x=c,则z=2-a,
,点A到平面BCC
1B
1的距离为
,又依题设,点A到平面BCC
1B
1的距离为
,所以c=
.代入①得a=3(舍去)或a=1.于是
,
设平面ABA
1的法向量
,则
,即
.
且-2p+q=0,令p=
,则q=2
,r=1,
,又
为平面ABC的法向量,故cos
,所以二面角A
1-AB-C的大小为arccos
,