Question

已知函数f（x）=2sinxcos（x-

π

3

）+sin（2x+

π

3

）（x∈R）
（Ⅰ）求f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和最小值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,弦切互化

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式将条件进行化简即可求f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）根据三角函数的图象和性质即可函数f（x）的最小正周期和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcos（x-

π

3

）+sin（2x+

π

3

）=2sinx（cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

）+sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=3sin2xcos

π

3

+（2sin²x+cos2x）sin

π

3

=sin2x+sin

π

3

，
则f（

π

12

）=sin

π

6

+sin

π

3

=

1+ 3

2

；

（Ⅱ）∵f（x）=sin2x+sin

π

3

=sin2x+

3

2

，
∴函数的周期T=

2π

2

=π，
即函数f（x）的最小正周期是π，
当sin2x=-1时，函数取得最小值，最小值为-1+

3

2

=

3

2

-1．

点评：本题主要考查三角函数值的计算以及三角函数性质的考查，利用两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．