Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x），
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+ alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）函数h（x）=2lnx-f（x）-k有几个零点？

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设得F（x）=x²+bsinx，
∵F（x-5）=F（5-x），
则F（-x）=F（x），
所以x²-bsinx=x²+bsinx，
所以bsinx=0对于任意实数x恒成立，
∴b=0，
故f（x）=x²-2；
（Ⅱ）由g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx，
求导数得g′（x），
g（x）在（0，1）上恒单调，只需g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0恒成立，
所以a≥-（2x²+2x）或a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立，
记u（x）=-（2x²+2x），0＜x＜1，
可知-4＜u（x）＜0，
∴a≥0或a≤-4；
（Ⅲ）令y=，，
令y′＞0，得，
y′＜0，得，
∴时，y有极大值ln2＞0，
x→0时，y→+∞，x→+∞时，y→-∞，
∴k＞ln2时，h（x）无零点；k=ln2时，h（x）有一个零点；
k＜ln2时，h（x）有两个零点。