Question

a，b是异面直线，下面四个命题：
①过a至少有一个平面平行于b； 
②过a至少有一个平面垂直于b；
③至多有一条直线与a，b都垂直；
④至少有一个平面与a，b都平行．
其中正确命题的个数是

 

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Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：根据a，b是异面直线，以及平面的确定，作出平面α，β，γ满足①过a至少有一个平面平行于b；②必须在异面直线垂直的条件下才成立；③跟据线面垂直的判定定理，即可找到这样的平面γ与a，b都平行，且平面γ的直线有无数条，故③不成立，④找到这样的平面γ与a，b都平行，且这样的平面有无数个．故④正确．

解答： 解：∵a，b是异面直线，
∴在直线a上任取一点p，过P和直线b确定一个平面α，在平面α内过P做直线c∥b，
且a，c确定平面β，b∥β，故①正确；
②若过a至少有一个平面垂直于b，则b⊥a，而a与b不一定垂直，故②不正确；
③若直线l⊥β，则直线l⊥a，l⊥b，而直线l有无数条，故③不正确；
④过b上一点直线c∥a，则b，c确定一个平面γ，则所有与它平行且不过a的平面β都满足与两异面直线平行，故④正确．
故答案为：2．

点评：此题是个基础题．考查异面直线的有关问题，而解决异面直线问题，一般采取平移的方法，体现了运动的思想和转化的思想，同时也考查了平面的确定和线面平行的判定和性质定理．