Question

如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CB，E、F、M分别是棱CC₁、AB、BB₁中点．
（1）求证：平面AEB₁∥平面CFM；   
（2）求证：CF⊥BA₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用平面与平面平行的判定定理可得结论；
（2）证明CF⊥平面ABB₁A₁，即可证明CF⊥BA₁．

解答： 证明：（1）∵B₁M∥CE，且B₁M=CE，
∴四边形CEB₁M是平行四边形，
∴CE∥EB₁
又∵FM∥AB₁，
CF∩FM=M，EB₁∩AB₁=B₁，
∴平面AEB₁∥平面CFM；
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥CF，
∵AC=BC，AF=FB，
∴CF⊥AB，BB₁∩AB=B，
∴CF⊥平面ABB₁A₁，
∴CF⊥BA₁．

点评：本题考查平面与平面平行的判定定理，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．