Question

设函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（1）当a=b=

1

2

时，求f（x）的最大值．
（2）令F（x）=f（x）+ax²+bx（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=b=

1

2

时，f'（x）=

-(x+2)(x-1)

2x

，由此利用导数性质能求出f（x）的最大值．
（2）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，由此利用导数性质结合已知条件能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=b=

1

2

时，f（x）=lnx-

1

4

x²-

1

2

x，
f'（x）=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

，
令f'（x）=0，解得x=1或x=-2（舍去）．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）是增加的；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）是减少的．
所以f（x）的极大值为f（1）=-

3

4

，
即f（x）的最大值是-

3

4

．
（2）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，
则有k=F'（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

在（0，3]上恒成立，
所以a≥（-

1

2

x02+x₀）max，
当x₀=1时，-

1

2

x02+x₀取得最大值

1

2

，所以a≥

1

2

．

点评：本题考查函数的最大值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．