Question

已知a为实数，函数f（x）=x³-ax²-4x+4a
（1）若a=

1

2

，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（2，+∞）上是单调递增的，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由a=

1

2

，代入原函数并求出其导函数，利用导函数和函数单调性的关系可得函数在[-2，2]上的单调性，进而求得在[-2，2]上的最大值和最小值．
（2）由f（x）在（2，+∞）上是单调递增的，可得3x²-2ax-4≥0在（2，+∞）上恒成立，分离参数，求最值，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²-4x+4a，a=

1

2

，
∴f'（x）=3x²-x-4=（x+1）（3x-4）＞0得x＜-1或x＞

4

3

；
由f'（x）=（x+1）（3x-4）＜0得-1＜x＜

4

3

．
∴函数f（x）在[-2，-1]上递增，在[-1，

4

3

]上递减，在[

4

3

，2]上递增．
综上，f（x）在[-2，2]上的最大值为f（-1）=

9

2

，最小值为f（

4

3

）=-

50

27

；
（2）∵f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f'（x）=3x²-2ax-4，
∵f（x）在（2，+∞）上是单调递增的，
∴3x²-2ax-4≥0在（2，+∞）上恒成立，
∴2a≤3x-

4

x

在（2，+∞）上恒成立，
∴2a≤6-2，
∴a≤2．

点评：：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及导数的运算，是对基础知识的综合考查，属于中档题．