Question

已知函数f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x（x＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）n∈N^*，求证：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞

3n+1

2n+2

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由f（x）≥0，得a≤

1

2

×

x2-2x

x-lnx

，（x＞0）恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）当x≥3时，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

x-1

-

1

x

，又

1

ln2

＞1，由此能证明

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞

3n+1

2n+2

．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x，（x＞0）．
∴f′(x)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，x＞0．
当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）单调递减，在（0，a），（1，+∞）是单调递增；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞1时，f（x）在（1，a）单调递减，在（0，1），（a，+∞）是单调递增．
（Ⅱ）解：由f（x）≥0，得a≤

1

2

×

x2-2x

x-lnx

，（x＞0）恒成立，
∴即f（x）≥f（1）≥0，
∴若f（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，实数a的取值范围为（-∞，-

1

2

）．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：a=-

1

2

时，
f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，
即lnx≤x²-x，（x=1时取等号），
∴当x≥3时，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

x-1

-

1

x

，
又

1

ln2

＞1，
∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞1+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1+

1

2

-

1

n+1

=

3n+1

2n+2

．
∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞

3n+1

2n+2

．

点评：本题考查的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．