Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，右顶点为抛物线y²=8x的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（1，0）任作一条直线l交椭圆C于A、B两点，Q（4，0），连接QA，QB，求证：∠AQM=∠BQM．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得椭圆C的右顶点为（2，0），椭圆C的焦点在y轴上，从而b=2．椭圆C的离心率e=

1- b2 a2

=

2

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知∠AQM=∠BQM．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．联立方程

y=k(x-1) 2x2+y2=8

，得方程（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0．由此能证明∠AQM=∠BQM．

解答： 解：（1）抛物线y²=8x的焦点坐标为（2，0），
所以椭圆C的右顶点为（2，0），
因为椭圆C的焦点在y轴上，所以b=2．
椭圆C的离心率e=

1- b2 a2

=

2

2

，所以a²=8，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

8

=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知∠AQM=∠BQM．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
联立方程

y=k(x-1) 2x2+y2=8

，得方程（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

2k2

k2+2

，x1x2=

k2-8

k2+2

．
因为y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
kQA+kQB=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

k(x1-1)

x1-4

+

k(x2-1)

x2-4

=

k(x1-1)(x2-4)+k(x2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

，
因为（x₁-1）（x₂-4）+（x₂-1）（x₁-4）
=2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8
=

2(k2-8)

k2+2

-

10k2

k2+2

+8=0．
所以k_QA+k_QB=0，
所以∠AQM=∠BQM．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两角相等的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．