Question

定义y=log_1+xf（x，y），x＞0，y＞0．
（1）比较f（1，3）与f（2，3）的大小；
（2）若e＜x＜y，证明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）设g（x）=f（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的图象为曲线C，曲线C在x₀处的切线斜率为k，若x₀∈（1，1-a），且存在实数b，使得k=-4，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,对数的运算性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）由定义知f（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，由此能比较比较f（1，3）与f（2，3）的大小．
（2）f（x-1，y）=x^y，f（y-1，x）=y^x，要证f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要证x^y＞y^x，由此能证明不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．
（3）由题意知：g（x）=x³+ax²+bx+1，且g′（x₀）=k，于是有3x02+2ax0+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由定义知f（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，
∴f（1，3）=（1+1）³=8，f（2，2）=（1+2）²=9，
∴f（1，3）＜f（2，2）．…（3分）
（2）f（x-1，y）=x^y，f（y-1，x）=y^x，
要证f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要证x^y＞y^x，
∵x^y＞y^x，∴ylnx＞xlny，∴

lnx

x

＞

lny

y

，…（5分）
令h（x）=

lnx

x

，则h′(x)=

1-lnx

x2

，
当x＞e时，h′（x）＜0，∴h（x）在（e，+∞）上单调递减．
∵e＜x＜y，∴h（x）＞h（y），即

lnx

x

＞

lny

y

，
∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．…（8分）
（3）由题意知：g（x）=x³+ax²+bx+1，且g′（x₀）=k，
于是有3x02+2ax0+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．
又由定义知log2(x03+ax02+bx0+1)＞0，
即x03+ax02+bx0＞0，
∵x₀＞1，∴x02+ax0＞-b，∴x02+ax0＞3x02+2ax0+4，
即ax0＜-2(x02+2)，
∴a＜-2（x₀+

2

x0

）在x₀∈（1，1-a）有解．…（10分）
设V(x0)=x0+

2

x0

，x₀∈（1，1-a），
①当1-a＞

2

，即a＜1-

2

时，V(x0)=x0+

2

x0

≥2

2

．
当且仅当x0=

2

时，V(x0)min=2

2

，
∴当x0=

2

时，-2（x0+

2

x0

）_max=-4

2

，∴a＜-4

2

．…（12分）
②当1＜1-a≤

2

时，即1-

2

≤a＜0时，V(x0)=x0+

2

x0

在x₀∈（1，1-a）上递减，
∴x0+

2

x0

＞1-a+

2

1-a

．∴a＜-2[（1-a）+

2

1-a

]
整理得：a²-3a+6＜0，无解，…（13分）
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，-4

2

）．…（14分）

点评：本题考查两数大小的比较，考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．