Question

已知函数f(x)=-x2+ax-

1

4

a-

1

2

，
（1）若函数f（x）的值域为（-∞，0]，求实数a的值；
（2）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数f（x）的值域为（-∞，0]，可得

-4(- 1 4 a- 1 2 )-a2

-4

=0，即可求实数a的值；
（2）分类讨论，分别根据函数的最大值求得a的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的值域为（-∞，0]，
∴

-4(- 1 4 a- 1 2 )-a2

-4

=0，
∴a²-a-2=0，
∴a=2或a=-1；
（2）函数的对称轴为x=

a

2

，开口向下，则

a

2

≤0，即a≤0时，f（0）=2，即a=-10，满足题意；
0＜

a

2

＜1，

-4(- 1 4 a- 1 2 )-a2

-4

=2，∴a=-2或a=3，不符合题意；

a

2

≥1，即a≥2时，f（1）=-1+a-

1

4

a-

1

2

=2，即a=

14

3

，符合题意．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．