Question

17．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最大侧面积为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{15}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 画出几何体的图形，判断三棱锥的形状，求出即可．

解答 解：由题意考查几何体的图形如图，
该几何体是一个底面为直角三角形，顶点在底面的射影E为斜边中点的三棱锥，
三棱锥的数据如图，可得：AB=AC=AD=2$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{3}$，
AE=BE=CE=DE=2，
则利用余弦定理可得：cos∠BAD=$\frac{1}{4}$，cos∠CAD=$\frac{3}{4}$，
可求：sin∠BAD=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，sin∠CAD=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
则S_△ABC=4×$2×\frac{1}{2}$=4．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD•sin∠BAD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$．
S_△ADC=$\frac{1}{2}$AC•AD•sin∠CAD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\sqrt{7}$．
∴S_△ABC＞S_△ABD＞S_△ADC，
∴则该三棱锥最大侧面积为：S_△ABC=4×$2×\frac{1}{2}$=4．
故选：A．

点评 本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．