Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$|x|³-ax²+（6-a）|x|+b（a，b∈R），若f（x）有六个不同的单调区间，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a＜-2，或a＞0
• B． 0＜a＜1
• C． 1＜a＜3
• D． 2＜a＜6

Answer 1

分析 判断函数f（x）为偶函数，则f（x）有六个不同的单调区间等价为当x≥0时，f（x）有3个不同的单调区间，求函数的导数，等价为当x≥0时，f′（x）=0有两个不同的根，利用根的分布进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$|x|³-ax²+（6-a）|x|+b，
∴函数f（x）是偶函数，
若f（x）有六个不同的单调区间，则等价为当x≥0时，f（x）有3个不同的单调区间，
即当x≥0时，f′（x）=0有两个不同的根，
则当x≥0时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（6-a）x+b，f′（x）=x²-2ax+6-a，
若当x≥0时，f′（x）=0有两个不同的根，
则$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=6-a＞0}\\{△=4{a}^{2}-4（6-a）＞0}\\{-\frac{-2a}{2}＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a＜6}\\{{a}^{2}+a-6＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＜6}\\{a＞2或a＜-3}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
则2＜a＜6，
故选：D

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为当x≥0时，f（x）有3个不同的单调区间，依据利用导数研究函数的大小是解决本题的关键．综合性较强．