Question

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a²=2b²+2c²-bc，且a=2b，
（1）求cosA；
（2）求cos（A-B）

Answer 1

分析 （1）由已知化简可得a²=b²+c²-$\frac{1}{2}$bc，利用余弦定理即可求得cosA的值．
（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由a=2b，根据正弦定理可得：sinA=2sinB，可求sinB的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角差的余弦函数公式即可求得cos（A-B）的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵2a²=2b²+2c²-bc，可得：a²=b²+c²-$\frac{1}{2}$bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{1}{2}bc}{2bc}$=$\frac{1}{4}$，…3分
（2）∵cosA＞0，0＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$…5分
由a=2b，根据正弦定理可得：sinA=2sinB，可得sinB=$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，…7分
∵A＞B，∴0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{15}{64}}$=$\frac{7}{8}$，…9分
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=$\frac{1}{4}×\frac{7}{8}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{11}{16}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．