Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2$\sqrt{2}$，∠PDC=120°．
（1）如图2，设点E为AB的中点，点F在PC的中点，求证：EF∥平面PAD；
（2）已知网络纸上小正方形的边长为0.5，请你在网格纸用粗线画图1中四棱锥P-ABCD的俯视图（不需要标字母），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证EF∥平面PAD，需要证面GEF∥面PAD，需要证GF∥PD，GE∥AD，易得证明思路．
（2）证明AD⊥平面PCD，P在平面ABCD的射影H在CD的延长线上，且DH=1，即可得出四棱锥P-ABCD的俯视图．

解答 （1）证明：取DC的中点G，连接EG、FG，
∵F是PC的中点，G是DC的中点，
∴GF是△PCD的中位线，GF∥PD；
∵G是DC的中点，E是AB的中点，
∴GE是矩形ABCD的中位线，GE∥AD；
GE、GF⊆面GEF，GE与GF相交，∴面GEF∥面PAD，
∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAD．
（2）解：∵AD=PD=2，PA=2$\sqrt{2}$，∴AD⊥PD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥DC，
∵PD∩DC=D，
∴AD⊥平面PCD，
∴P在平面ABCD的射影H在CD的延长线上，且DH=1．
俯视图如图所示．

点评 本题考查了直线与平面垂直的判定，考查俯视图，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．