Question

7．已知复数z=2+bi（i为虚数单位），b为正实数，且z²为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数ω=$\frac{z}{1-i}$，求ω的模．

Answer 1

分析 （1）由已知求出z²，利用实部为0且虚部不为0求得b，则z可求；
（2）把z代入ω=$\frac{z}{1-i}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算．

解答 解：（1）由z=2+bi，得z² =（2+bi）²=4-b²+4bi，
∵z²为纯虚数，∴$\left\{\begin{array}{l}{4-{b}^{2}=0}\\{4b≠0}\end{array}\right.$，得b=±2，
又b＞0，∴b=2，
则z=2+2i；
（2）ω=$\frac{z}{1-i}$=$\frac{2+2i}{1-i}=\frac{2（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}=2i$，
∴|ω|=2．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查了复数模的求法，是基础题．