Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，E为PC上的点，且BE⊥平面PAC．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的正弦值；
（Ⅲ）求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用侧面PAB⊥底面ABCD，且CB⊥AB，可得CB⊥平面PAB，即可证明：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面BAC、平面APC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角P-AC-B的正弦值；
（Ⅲ）利用距离公式求点D到平面PAC的距离．

解答 证明（Ⅰ）∵BE⊥平面PAC，∴BE⊥PA．
∵侧面PAB⊥底面ABCD，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PA，∴PA⊥平面PBC．                             …（4分）
解：（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OP所在直线为z轴，AB所在直线为x轴，
过O点平行于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标O-xyz．
∵PA⊥平面PBC，PB?面PBC，
∴PA⊥PB，
在Rt△APB中，AB=2，O为AB的中点，
∴OP=1．
∴A（-1，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（-1，2，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），
显然，平面BAC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面APC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\ 2x+2y=0\end{array}\right.$取x=1，则y=-1，z=-1，从而$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设二面角P-AC-B的平面角为θ，
则|cosθ|=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{{1•\sqrt{3}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴sinθ=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即二面角P-AC-B的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．                        …（10分）
（Ⅲ）∵$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），
∴点D到平面PAC的距离d=$\frac{{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow n|}}{|\overrightarrow n|}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$．      …（13分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查点面距的求法，属于中档题．