Question

18．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A-EF-C的度数为θ．
（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A-BF-C的余弦值；
（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A-BF-C的平面角，由此能求出二面角A-BF-C的余弦值．
（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，
∴AE⊥平面CEFB，
过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，
则∠AHE为二面角A-BF-C的平面角
设$BC=2a，则EF=a，AB=4a，AC=2\sqrt{3}a$，
$AE=\sqrt{3}a$，$EH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
∴$cos∠AHE=\frac{EH}{AH}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}a}}{{\sqrt{3{a^2}+\frac{3}{4}{a^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴二面角A-BF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．（7分）
（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，
则根据三垂线定理有GB⊥CF，
∵△BCF为正三角形，∴$CG=BCtan3{0}^{°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，则$GE=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
∵$AE=\sqrt{3}a$，∴$cosθ=\frac{GE}{AE}=\frac{1}{3}$，
∴cosθ的值为$\frac{1}{3}$．（15分）

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．