Question

9．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥面ABC，AC₁⊥面CBA₁，AC₁∩A₁C=F．
（1）证明：A₁C₁⊥B₁C₁．
（2）设A₁C₁=B₁C₁=2，E为AB的中点，求E点到FC₁B₁的距离．

Answer 1

分析 （1）证明：B₁C₁⊥平面A₁C₁A，即可证明A₁C₁⊥B₁C₁．
（2）如图所示，分别取AC，AF的中点G，H，连接GE，GH，则GE∥BC，GH∥CF，可得E点到FC₁B₁的距离等于G点到FC₁B₁的距离，即可求E点到FC₁B₁的距离．

解答 （1）证明：∵AC₁⊥面CBA₁，BC?面CBA₁，
∴AC₁⊥CB，
∵侧棱AA₁⊥面ABC，BC?面ABC，
∴侧棱AA₁⊥BC，
∵AC₁∩AA₁=A，
∴BC⊥平面A₁C₁A，
∵BC∥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁A，
∵A₁C₁?平面A₁C₁A，
∴A₁C₁⊥B₁C₁．
（2）解：如图所示，分别取AC，AF的中点G，H，连接GE，GH，则GE∥BC，GH∥CF，
∵BC∥B₁C₁，∴GE∥B₁C₁，
∵GE?平面B₁C₁F，B₁C₁?平面B₁C₁F，
∴GE∥平面B₁C₁F，
∴E点到FC₁B₁的距离等于G点到FC₁B₁的距离．
由（1）可知A₁C⊥平面B₁C₁F，四边形A₁C₁CA是正方形
∴GH⊥平面B₁C₁F，
∵A₁C₁=B₁C₁=2，∴A₁C=2$\sqrt{2}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴E点到FC₁B₁的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．