Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为边AD的中点，分别沿BE，CE将△ABE，△DCE折叠，使平面ABE和平面DCE均与平面BCE垂直．

（Ⅰ）证明：AD∥平面BEC；
（Ⅱ）求点E到平面ABCD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明四边形AMND为平行四边形，可得AD∥MN，利用线面平行的判定定理证明：AD∥平面BEC；
（Ⅱ）利用V_E-ABC=V_A-BEC，求点E到平面ABCD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：分别取BE，CE中点M，N，连接AM，MN，DN，
由已知可得△ABE，△DCE均为腰长为4的等腰直角三角形，
所以AM⊥BE，且AM=2$\sqrt{2}$．
又∵平面ABE⊥平面BCE，且交线为BE，
∴AM⊥平面BEC，
同理可得：DN⊥平面BEC，且DN=2$\sqrt{2}$．
∴AM∥DN，且AM=DN，
∴四边形AMND为平行四边形．
∴AD∥MN，
又∵MN?平面BEC，AD?平面BEC，
∴AD∥平面BEC．…（6分）

（Ⅱ）解：点E到平面ABC的距离，也就是三棱锥E-ABC的高h．
连接AC，MC，

在Rt△EMC中有MC=$\sqrt{E{M}^{2}+E{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在Rt△AMC中有AC=$\sqrt{A{M}^{2}+M{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
可得AC²+AB²=BC²，所以△ABC是直角三角形．
由V_E-ABC=V_A-BEC得$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$AB•AC•h=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$BE•EC•AM，
可知h=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴点E到平面ABC的距离为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积方法的合理运用．