在平面直角坐标系中.已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12.点F的极坐标为.且F在直线l上．(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

14．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，点F的极坐标为（2$\sqrt{2}$，π），且F在直线l上．
（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•丨FB丨的值；
（Ⅱ）求曲线C内接矩形周长的最大值．

分析（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；
（II）设矩形的顶点坐标为$（2\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长，求出此函数的最大值．

解答解：（I）点F的极坐标为$（2\sqrt{2}，π）$所以直角坐标为$（-2\sqrt{2}，0）$∴$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{2}=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ 0=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，∴$m=-2\sqrt{2}$
曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
所以直角坐标方程为x²+3y²=12-------------------（3分）
将直线AB的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C直角坐标方程中
可得t²-2t-2=0
所以|FA|•|FB|=2----------------------------（6分）
（Ⅱ）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为$（2\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$
由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为$8\sqrt{3}cosθ+8sinθ$=$16sin（θ+\frac{π}{3}）$------------（9分）
当$θ+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$时，即$θ=\frac{π}{6}$时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16．---------（10分）

点评本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

18．甲射击命中目标的概率是$\frac{1}{4}$，乙命中目标的概率是$\frac{1}{3}$，丙命中目标的概率是$\frac{1}{2}$，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（　　）

A．

$\frac{3}{4}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{4}{5}$

D．

$\frac{7}{10}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

5．

如图，在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，AB⊥AD，AB=AC=2CD=4，AA₁=3，过AC的平面分别与A₁B₁，B₁C₁交于E₁，F₁，且E₁为A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AC-E₁的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

2．