Question

8．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是菱形，侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，A₁B=AB=AA₁=2，△AA₁C₁的面积为$\sqrt{3}$，且∠AA₁C₁为锐角．
（I） 求证：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求锐二面角B-AC-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出△AA₁B是等边三角形，取AA₁的中点D，则AA₁⊥BD，再推导出△AA₁C₁是等边三角形，且AA₁⊥C₁D，由此能证明AA₁⊥BC₁．
（Ⅱ）以D为原点，C₁D为x轴，DA₁为y轴，DB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角B-AC-C₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵侧面AA₁C₁C是菱形，且A₁B=AB=AA₁=2，
∴AA₁=A₁C₁=C₁C=CD=2，△AA₁B是等边三角形，
取AA₁的中点D，连结DB、DC₁，则AA₁⊥BD，
由${S}_{△A{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×{A}_{1}A×{A}_{1}{C}_{1}×sin∠A{A}_{1}{C}_{1}$=2sin∠AA₁C₁=$\sqrt{3}$，
得sin∠AA₁C₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∠AA₁C₁为锐角，
∴∠AA₁C₁=60°，
∴△AA₁C₁是等边三角形，且AA₁⊥C₁D，
又∵BD?平面BC₁D，C₁D?平面BC₁D，BD∩C₁D=D，
∴AA₁⊥平面BC₁D，
∴AA₁⊥BC₁．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AA₁⊥BD，
又∵侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，
侧面ABB₁A₁∩侧面AA₁C₁C=AA₁，BD?平面ABB₁A₁，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
以D为原点，C₁D为x轴，DA₁为y轴，DB为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），A₁（0，1，0），C₁（-$\sqrt{3}$，0，0），B（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，0，0），
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=（-\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{AB}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{DB}$=（0，0，$\sqrt{3}$）是平面ACC₁的一个法向量，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ABC的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴锐二面角B-AC-C₁的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．