Question

20．已知关于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0，a∈R．
（1）已知不等式的解集为（-∞，-1]∪[2，+∞），求实数a的值；
（2）若不等式ax²+（a-2）x-2≥2x²-3对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（3）解关于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0．

Answer 1

分析 （1）由题意可得-1，2是方程ax²+（a-2）x-2=0的两根（a＞0），运用韦达定理，解方程可得a的值；
（2）由题意可得（a-2）x²+（a-2）x+1≥0恒成立，讨论a=2，a＞2，判别式小于等于0，a＜2不恒成立，解不等式即可得到所求a的范围；
（3）不等式可将其转化为（ax-2）（x+1）≥0，讨论a=0，a＜0，a＞0，$\frac{2}{a}$与-1的大小关系进行讨论，注意a=0的情况先讨论，从而进行求解．

解答 解：（1）由题意可得-1，2是方程ax²+（a-2）x-2=0的两根（a＞0），
可得-1+2=$\frac{2-a}{a}$，-1×2=-$\frac{2}{a}$，
解得a=1；
（2）不等式ax²+（a-2）x-2≥2x²-3对x∈R恒成立，
即为（a-2）x²+（a-2）x+1≥0恒成立，
当a=2时，不等式即为1≥0恒成立；
当a＞2时，△≤0即为（a-2）²-4（a-2）≤0，解得2＜a≤6；
当a＜2时，不等式不恒成立．
综上可得，a的取值范围是[2，6]；
（3）不等式ax²+（a-2）x-2≥0．
即有（ax-2）（x+1）≥0．
①当a=0时，原不等式化为x+1≤0⇒x≤-1；
②当a＜0时，原不等式化为（x+1）≤0，即x≤-1；
当$\frac{2}{a}$＞-1，即a＜-2时，原不等式等价于-1≤x≤$\frac{2}{a}$；
当$\frac{2}{a}$=-1，即a=-2时，原不等式等价于x=-1；
当$\frac{2}{a}$＜-1，即-2＜a＜0时，原不等式等价于$\frac{2}{a}$≤x≤-1．
③当a＞0时，$\frac{2}{a}$＞-1，原不等式等价于x≥$\frac{2}{a}$或x≤-1．
综上所述：当a＜-2时，原不等式的解集为；
当a=-2时，原不等式的解集为{-1}；
当-2＜a＜0时，原不等式的解集为[$\frac{2}{a}$，-1]；
当a=0时，原不等式的解集为（-∞，-1]；
当a＜-2时，原不等式的解集为[-1，$\frac{2}{a}$]；
当a＞0时，原不等式的解集为（-∞，-1]∪[$\frac{2}{a}$，+∞）．

点评 本题考查二次不等式的解法和不等式恒成立恒成立问题的解法，以及含参二次不等式的解法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，考查运算能力，属于中档题和易错题．