Question

13．如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，E，F，G分别是A′C′，BC与B′C′的中点，且AA′=$\sqrt{3}$，BC=2，AC=4．平面ABGE⊥平面BCC′B′．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）求平面ABE与平面EFC′所成角的平面角的余弦值的绝对值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知GB是平面ABGE与平面BCC′B′的交线，在平面BCC′B′中过点C作GB的垂线，垂足为H，推导出AB⊥CH，AB⊥CC′，从而AB⊥平面BCC′B′，由此能证明AB⊥BC．
（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABE与平面EFC′所成角的平面角的余弦值的绝对值．

解答 证明：（Ⅰ）由题意知GB是平面ABGE与平面BCC′B′的交线，如图，
在平面BCC′B′中过点C作GB的垂线，垂足为H，即GB⊥CH，
又由于平面ABGE⊥平面BCC′B′，
∴CH⊥平面ABGE，则AB⊥CH，①
∵三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，
∴CC′⊥平面ABC，∴AB⊥CC′，②
又由CC′∩CH=C及①②，得AB⊥平面BCC′B′，
∴AB⊥BC．
解：（Ⅱ）∵二棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱且AB⊥BC，
∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB′为z轴，建立空间直角坐标系，
∵BC=2，AC=4，∴AB=2$\sqrt{3}$，
又AA′=$\sqrt{3}$，则B（0，0，0），A（2$\sqrt{3}$，0，0），E（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），F（0，1，0），C′（0，2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BA}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{C}^{'}E}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{{C}^{'}F}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ABE的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=\sqrt{3}x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=-1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}，-1$），
设$\overrightarrow{m}$=（a，b，c）是平面EFC′的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}^{'}E}=\sqrt{3}a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}^{'}F}=-b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-1，
设平面ABE与平面EFC′所成角的平面角为θ，
则|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面ABE与平面EFC′所成角的平面角的余弦值的绝对值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．