Question

16．ABCD是复平面内的平行四边形，A、B、C三点对应的复数分别是1+3i、-i、2+i．
（Ⅰ）求点D对应的复数；
（Ⅱ）求△ABC的边BC上的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出复平面内A、B、C对应点的坐标分别为，设D的坐标为（x，y），由$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$列式解得x，y的值，得到D的坐标，求出D对应的复数；
（Ⅱ）求出BC直线的方程为，由点到直线的距离公式求出A到BC直线的距离，则BC边上的高可求．

解答 解：（Ⅰ）复平面内A、B、C对应点的坐标分别为（1，3），（0，-1），（2，1）…（1分），
设D的坐标为（x，y），
由$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，得（x-1，y-3）=（2，2）…（2分），
∴x-1=2，y-3=2…（3分），
解得x=3，y=5…（4分），
故D（3，5）…（5分），
则点D对应的复数为：3+5i…（6分）；
（Ⅱ）∵B（0，-1），C（2，1），
∴BC直线的方程为：x-y-1=0…（8分），
A到BC直线的距离$d=\frac{|1-3-1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（11分），
故BC边上的高为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（12分）．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了点到直线的距离公式的应用，属中档题．