Question

4．已知函数f（x）=e^2x-（x-1）²，（e≈2.71828）
（1 ）求曲线y=f（x）在点（l，f（1））处的切线方程；
（2）设方程f（x）=m-1+4x-x²在[-1，2]上恰有两个不同的实根，求变数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；（2）问题转化为2x+m=e^2x在[-1，2]上恰有两个不同的交点，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e^2x-（x-1）²，
∴f′（x）=2（e^2x-x+1），
∴f（1）=e²，f′（1）=2e²，
∴切线方程是y-e²=2e²（x-1），
即2e²x-y-e²=0；
（2）方程f（x）=m-1+4x-x²在[-1，2]上恰有两个不同的实根，
即2x+m=e^2x在[-1，2]上恰有两个不同的交点，
x=-1时，e^2x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，x=1时，e^2x=e²，
结合题意$\left\{\begin{array}{l}{2×0+m{＞e}^{2×0}}\\{2×（-1）+m{≤e}^{2×（-1）}}\end{array}\right.$，
解得：1＜m≤2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即m的范围是（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$]．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数的交点问题，是一道中档题．