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    【题目】已知椭圆C： 经过点，且离心率为.

    （1）求椭圆C的方程；

    （2）设直线： 与椭圆C交于两个不同的点A，B，求面积的最大值（O为坐标原点）．

    【答案】(1) ；(2) .

    【解析】【试题分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，结合椭圆离心率和，列方程组，求出的值.由此求得椭圆方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理和判别式.根据弦长公式和点到直线距离公式，求得面积的表达式，最后利用基本不等式求最大值.

    【试题解析】

    （1）由题意，知考虑到，解得

    所以，所求椭圆C的方程为.

    （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，

    整理得.

    由，得. ①

    设， ，则， .

    于是

    .

    又原点O到直线AB： 的距离.

    所以.

    因为，当仅且当，即时取等号.

    所以，即面积的最大值为.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知一工厂生产了某种产品700件，该工厂对这些产品进行了安全和环保这两个性能的质量检测。工厂决定利用随机数表法从中抽取100件产品进行抽样检测，现将700件产品按001，002，…,700进行编号；

    （1）如果从第8行第4列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3件产品的编号；

    （下面摘取了随机数表的第7～9行）

    84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

    63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

    33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

    （2）抽取的100件产品的安全性能和环保性能的质量检测结果如下表：

    检测结果分为优等、合格、不合格三个等级，横向和纵向分别表示安全性能和环保性能。若在该样本中，产品环保性能是优等的概率为，求，的值。

    件数

    环保性能

    优等

    合格

    不合格

    安全性能

    优等

    6

    20

    5

    合格

    10

    18

    6

    不合格

    4

    （3）已知，，求在安全性能不合格的产品中，环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】函数，其中.

    （1）求函数的单调区间；

    （2）已知当（其中是自然对数）时，在上至少存在一点，使成立，求的取值范围；

    （3）求证：当时，对任意， ，有.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】2017年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段： ， ， ， ， ， 后得到如图的频率分布直方图．

    （1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？

    （2）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；

    （3）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知抛物线上一点的纵坐标为4，且点到焦点的距离为5.

    （1）求抛物线的方程；

    （2）设斜率为的两条平行直线分别经过点和，如图. 与抛物线交于两点， 与抛 物线交两点.问：是否存在实数，使得四边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知是不重合直线，是不重合平面，则下列命题

    ①若，则∥

    ②若∥∥，则∥

    ③若∥、∥，则∥

    ④若，则∥

    ⑤若，则∥

    为假命题的是

    A. ①②③ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数， .

    （1）当时，求曲线在点处的切线方程；

    （2）当时，判断方程在区间上有无实根；

    （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

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    【题目】已知函数 .

    （Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；

    （Ⅱ）当的图像经过点时，求的值及函数的最小正周期.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知在平面直角坐标系中，直线l过点P（1，2）．

    （1）若直线l在x轴和y轴上的截距相等，求直线l的方程；

    （2）求坐标原点O到直线l距离取最大值时的直线l的方程；

    （3）设直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A，B两点，当|PA||PB|最小时，求直线l的方程．

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