【题目】已知函数,
.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当时,判断方程
在区间
上有无实根;
(3)若时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 内无实数根;(3)
.
【解析】试题分析:(2)把m的值代入后,求出f(1),求出x=1时函数的导数,由点斜式写出曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)代入m的值,把判断方程f(x)=g(x)在区间(1,+∞)上有无实根转化为判断函数h(x)=f(x)﹣g(x)在(1,+∞)上有无零点问题,求导后利用函数的单调性即可得到答案;
(Ⅲ)把f(x)和g(x)的解析式代入不等式,整理变形后把参数m分离出来,x∈(1,e]时,不等式f(x)﹣g(x)<2恒成立,转化为实数m小于一个函数在(1,e]上的最小值,然后利用导数分析函数在(1,e]上的最小值.
试题解析:
(1)时,
,
,
,切点坐标为
,
∴切线方程为
(2)时,令
,
,∴
在
上为增函数,
又,所以
在
内无实数根.
(3)恒成立,即
恒成立.
又,则当
时,
恒成立,
令,只需
小于
的最小值.
,∵
,∴
,∴
时,
,
∴在
上单调递减,∴
在
的最小值为
,
则的取值范围是
.
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【题目】某次考试后,对全班同学的数学成绩进行整理,得到表:
分数段 | ||||
人数 | 5 | 15 | 20 | 10 |
将以上数据绘制成频率分布直方图后,可估计出本次考试成绩的中位数是__________.
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣4cosα=0.已知直线l的参数方程为(
为参数),点M的直角坐标为
.
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求.
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【题目】【2018届安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查】为监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件,度量其内径尺寸(单位: ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布
.
(1)假设生产状态正常,记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在
之外的零件数,求
及
的数学期望;
(2)某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示:
①计算这一天平均值与标准差
;
②一家公司引进了一条这种生产线,为了检查这条生产线是否正常,用这条生产线试生产了5个零件,度量其内径分别为(单位: ):85,95,103,109,119,试问此条生产线是否需要进一步调试,为什么?
参考数据: ,
,
,
,
,
,
,
.
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【题目】已知椭圆
的右焦点
与短轴两个端点的连线互相垂直.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点为椭圆
的上一点,过原点
且垂直于
的直线与直线
交于点
,求
面积
的最小值.
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【题目】下列有关命题的说法错误的是( )
A. 若“”为假命题,则p,q均为假命题
B. “ ”是“
”的充分不必要条件
C. “”的必要不充分条件是“
”
D. 若命题p:,
,则命题
:
,
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