Question

【题目】如图，已知四棱锥，底面为边长为2的菱形，平面，，，分别是，的中点.

（1）判定与是否垂直，并说明理由；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）垂直，证明过程详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题（1）判断垂直．证明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后证明AE⊥PD．

（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量．通过向量的数量积求解二面角的余弦值．

解：（1）垂直．

证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，

可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

所以PA⊥AE．

而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD，

所以AE⊥PD．

（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，，

所以，．

设平面AEF的一个法向量为，则，

因此，取z1=﹣1，则．

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．

又，所以．

因为二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．